数量关系解题技巧：隔板模型巧解题

隔板模型是一个相对比较固定的一种题型。它的题型特征很明显，核心方法比较单一，只要把它的本质含义和核心题型及它的其他变型掌握就可以在考试中拿下相关题目。

一、隔板模型的本质

隔板模型的本质是相同元素的不同分堆。所谓的相同即是说这些元素无论从形状、颜色、大小、机理等方面完全相同，比如说“将10个足球分给3个班级”就是相同元素的不同分堆，但是如果是题目更换为“将10本艺术类书籍分给3个学生”就不是我们今天研究的隔板模型。

二、隔板模型的公式及条件

隔板模型的公式即是“将n个相同的元素分给m个不同的对象，每个对象至少分一个，共有C(n-1,m-1)种不同的方法。这个公式的应用必须满足三个条件，分别是元素必须完全相同;每个对象都有，不会出现分不到情况;每个对象至少分一个，且必须分完，不能有剩余;

如果第3个条件不能够满足就不能直接使用隔板模型的公式，必须将题目中条件转换为符合条件3才能够使用隔板模型的公式。

三、隔板模型的应用

【例1】 将10支铅笔分给幼儿园大班的三个小朋友，每个小朋友至少分一个，共有多少种不同的分法?

A 10 B 26 C 36 D 3

【启峻解析】例题满足隔板模型的三个基本条件①元素必须完全相同(10支铅笔)②每个对象都有③每个对象至少一个，所以可以使用隔板模型的公式得到结果C(2,9)=36种，选择C。

【例2】将20个***学生名额分给3个不同的学院，每个学院至少分5个，共有多少种不同的分配方法。

A 171 B 156 C 42 D 21

【启峻解析】此题目并不满足隔板模型的三个基本条件，不能直接使用公式，但是此题仍然是属于相同元素的不同分堆，所以可以将此题目变成符合公式的条件要求的题目。既然每个学院至少分5个，那就可以先给每个学院分4个，总共先分出去12个。然后再分剩下的8个名额，三个学院每个学院至少分一个***学生名额，即可采用隔板模型，同时可以满足题目要求每个部分至少分分得5个***学生名额。所以共有C(2,7)=21种不同的方法。选择D项。

对于符合隔板模型，但是每个对象分的元素并不满足至少一个的情况就先分出去一部分，再分剩下的部分。即是如果满足相同元素的不同分堆，每个对象至少分8个，那就每个对象先分出去7个;每个对象至少分9个，那就每个对象先分出去8个，等等。

【例3】老师决定将10个足球分给4个同学，但是还没想好怎么分，那么这个老师共有多少种不同的分法。

A 286 B 276 C 56 D 72

【启峻解析】此题目也属于相同元素的不同分堆，那么如何使其为满足公式基本条件。可以先从每个同学那里借一支铅笔，此时老师有14支铅笔，并且欠了每个同学一支铅笔，在分发的时候，必须至少给每个同学一支。那么即可满足将14支铅笔分给4个同学，每个同学至少分一支，共有C(3,13)=286种不同的分法。选择A。

以上即是隔板模型常见的几种应用。希望各位考生能够牢记掌握在考试中能够应用并拿到分数。下面再给大家留一道例题作为思考，看看各位考生是否真的掌握隔板模型。

【例4】将7个足球和1个篮球分给3个学生，每个学生至少分到一个球，共有多少种不同的分法。

A 62 B 63 C 64 D 65

【启峻解析】这道题目不属于相同元素的不同分堆，但是可以将其转化为隔板模型。将篮球分给三个学生中的一个，共有3种方法。再从分到篮球的那个学生那里借到一个足球。此时共有8个足球分给3个学生，每个学生至少分一个足球(没有篮球的学生至少分一个足球，有篮球的学生至少分一个足球，因为从他那里借来一个足球)，满足隔板模型，共有C(2,7)=21。***终共有3*21=63种分法。选择B项。

以上的4个例题就是隔板模型的常见题型，各位考生把例题掌握，并且根据隔板模型的本质和条件来举一反三加以应用，遇到此类题型基本都可以解决。